複素数を含んだ不等式もよくよくみると実数の比較である

複素数は不等式には使いませんと書きましたが、複素数を含んだ不等式は普通にあります。

複素数を含んだ不等式

例えば、

\[|x+y|≦|x|+|y|\]

これは、よくある有名な三角不等式の複素数版です。

任意の複素数\(x,y\)に対して成立します。

この不等式をよく見てください。

みるところは、不等号(「≦」記号のこと)の左辺と右辺です。

複素数の絶対値は、実数ですから、\(|x+y|と|x|+|y|\)は両者とも実数です。

つまり、例に挙げた不等式は複素数を比較しているのではなく、
実数を比較している式ですから、不等式として意味がある式となっています。

複素数を実数に対応させる関数はいろいろありますが、よく使われるのが絶対値(長さ)を返す関数、実数部分(実部)を返す関数、虚数部分(虚部)を返す関数です。

不等式に複素数が含まれていたとしても、最終的にはその複素数を実数に対応させて、比較しています。